Jika proyeksi vektor \( \vec{u} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} \) ke vektor \( \vec{v} = -4\hat{i}+8\hat{j} \) adalah vektor \( \vec{w} \), maka \( |\vec{w}| \) adalah… (UM UGM 2006)
- \( \sqrt{5} \)
- \( 5 \)
- \( \sqrt{3} \)
- \( 1 \)
- \( 3 \)
Pembahasan:
Proyeksi vektor \( \vec{u} \) pada \( \vec{v} \) adalah \( \vec{w} \) sehingga panjang vektor \( \vec{w} \) dapat dicari sebagai berikut:
\begin{aligned} |\vec{w}| = \frac{\vec{u} \cdot v}{|v|} \Leftrightarrow |\vec{w}| &= \frac{ (3, 4) \cdot (-4,8) }{ \sqrt{(-4)^2+8^2} } \\[8pt] &= \frac{(3)(-4)+(4)(8)}{\sqrt{16+64}} \\[8pt] &= \frac{-12+32}{\sqrt{80}} = \frac{20}{\sqrt{16 \cdot 5}} \\[8pt] &= \frac{20}{4 \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\[8pt] &= \frac{5 \sqrt{5}}{5} = \sqrt{5} \end{aligned}
Jawaban A.